222. 完全二叉树的节点个数

1. 题目

给你一棵 完全二叉树 的根节点 root ，求出该树的节点个数。

完全二叉树 的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2h 个节点。

示例 1：

img

1
2
输入：root = [1,2,3,4,5,6]
输出：6

示例 2：

1
2
输入：root = []
输出：0

示例 3：

1
2
输入：root = [1]
输出：1

提示：

  • 树中节点的数目范围是[0, 5 * 104]
  • 0 <= Node.val <= 5 * 104
  • 题目数据保证输入的树是 完全二叉树

进阶：遍历树来统计节点是一种时间复杂度为 O(n) 的简单解决方案。你可以设计一个更快的算法吗？

2. 思路

普通递归遍历

  • 普通遍历仅需要考虑节点是否为空，如果为空时，直接返回0
  • 否则则直接递归返回1 + 左节点递归结果值 + 右节点递归结果值

完美二叉树 + 位运算

  • 已知所给出的二叉树均为完美二叉树，同时结合完美二叉树最左节点均为满二叉树
  • 分别计算出左右子树的高度，如果高度一致，则直接返回(1 << leftDepth) + countNodes(root.right)，此处的1 << leftDepth计算的是根节点到左子树的总节点数量，而右子树可能存在以下情况导致计算的高度一致，因此需要单独对右子树做一轮计算
image-20231031232631598
  • 如果左右子树高度不一，则以小的高度作为节点的统计，再做左子树的节点计算，如下所示
image-20231031233029715

3. 代码

普通递归遍历

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/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public int countNodes(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }

        return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
    }
}

完美二叉树 + 位运算

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/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public int countNodes(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }

        var leftDepth = getDepth(root.left);
        var rightDepth = getDepth(root.right);

        if (leftDepth == rightDepth) {
            return (1 << leftDepth) + countNodes(root.right);
        }

        return (1 << rightDepth) + countNodes(root.left);
    }

    private int getDepth(TreeNode root) {
        var depth = 0;

        while (root != null) {
            root = root.left;
            depth++;
        }

        return depth;
    }
}

4. 复杂度

普通递归遍历

  • 时间复杂度：O(n)
  • 空间复杂度：O(h)，其中h为递归调用二叉树的高度

image-20231031233305154

完美二叉树 + 位运算

  • 时间复杂度：O(log(n) * log(n))
  • 空间复杂度：O(log(n))

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