207. 课程表

1. 题目

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程 bi 。

  • 例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。

请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

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输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

示例 2：

1
2
3
输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

提示：

  • 1 <= numCourses <= 2000
  • 0 <= prerequisites.length <= 5000
  • prerequisites[i].length == 2
  • 0 <= ai, bi < numCourses
  • prerequisites[i] 中的所有课程对 互不相同

2. 思路

  • 已知要求的是能否可能学完对应课程，实质上是通过判断形成的有向图中是否存在环
  • 通过拓扑排序可以实现检测有向图中是否有环，无向图检测是否有环，使用的数据结构是并查集
  • 拓扑排序是广度优先遍历 + 贪心算法应用于有向图的一个专有名词，贪心算法简单来说讲的就是：每一步最优，全局就最优
  • 在开始排序前，扫描对应的节点，将入度为0的节点放入至队列中
  • 只要队列非空，则从队列中取出入度为0的节点，将这个节点指向的所有邻接节点入度进行-1，在-1后如果该节点的入度为0，则加入至队列中
  • 如果队列为空，则检查剩余节点的入度是否都为0，如果存在入度非0的情况，则说明有向图中存在环
  • 在实现拓扑排序的过程中，需要使用以下三个数据结构：
    • 队列：用于保存入度为0的节点
    • 邻接表：用于存储当前节点指向的所有节点，主要用于取消入度数量
    • 入度数组：通过索引可以确定对应节点的入度个数

3. 代码

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class Solution {
    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        var edgeMap = new HashMap<Integer, List<Integer>>(numCourses);
        var inCount = new int[numCourses];

        for (var prerequisite : prerequisites) {
            var source = prerequisite[0];
            var target = prerequisite[1];
            inCount[target]++;

            var targetList = edgeMap.getOrDefault(source, new ArrayList<Integer>());
            targetList.add(target);
            edgeMap.put(source, targetList);
        }

        var queue = new ArrayDeque<Integer>();
        for (var i = 0; i < numCourses; ++i) {
            if (inCount[i] == 0) {
                queue.offer(i);
            }
        }

        while (!queue.isEmpty()) {
            var source = queue.poll();

            var targetList = edgeMap.getOrDefault(source, Collections.emptyList());

            for (var target : targetList) {
                inCount[target]--;

                if (inCount[target] == 0) {
                    queue.offer(target);
                }
            }

            edgeMap.put(source, Collections.emptyList());
        }

        for (var i = 0; i < numCourses; ++i) {
            if (inCount[i] != 0) {
                return false;
            }
        }

        return true;
    }
}

4. 复杂度

  • 时间复杂度：O(E + V)，其中E对应的是邻边的条数，V指的是节点的个数
  • 空间复杂度：O(E + V)，邻接表长度是 V，每个课程里又保存了它所有的边

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